李冶

李冶想，天術的優越性不僅表現在建立高次方程，也表現在建立二方程。二次方程解決的面積之類的問題，既可用幾何法，又可用代數方法——天元術。如果能把二者結合起來，以幾何方法解釋天元術，並透過二者的比較來說明優劣，一定能達到讓讀者理解天元術並樂於使用天元術的目的！想到這裡，李冶便選中了以解決方、圓面積問題為主的《益古集》，該書的方程都用幾何方法導出，比較直觀，但複雜多變；天元術比較抽象，但方法簡單，不需要很多技巧。在具有一定的抽象能力後，人們會感到天元術比幾何方法優越得多，許多難於畫圖、用幾何與算術方法費解的「難題」，只要設個未知數（即「天元之一」），解起來便易如反掌了。李冶決心使自己的《益古演段》成為一座橋，使人們由幾何方法的彼岸走到天元術中來。

秦九韶

1244年（淳祐占四年）8月，秦九韶被任命為建康（今南京）通判。這是一種管錢糧、戶口、賦役等工作的官職。但他任職時間很短，11月便因母親去世，回湖州守孝三年。這其間，他的心情不佳。這不僅是因為永遠失去了慈祥的母親，更因為自己對國家前途的擔憂。多年來，他一直渴望著為保衛大宋江山而戰，但南宋朝廷內部十分腐敗。許多人為了自己的私利，主張求和。昏庸的宋理宗在主戰、主和兩派的鬥爭中，往往舉棋不定，而且傾向於求和，所以不可能出現一個領導全國抗蒙救亡的核心。蒙古軍隊步步緊逼，南宋正面臨著亡國的危險。秦九韶想「朝廷也許會更換，但有用的書將長存。這些年來，我蒐集了不少數學問題，趁目前沒有公務，我應該抓緊時間研究，寫出書來，留給後人。」於是，他在料理完母親的後事以後，便在家裡埋頭著書。

功夫不負有心人。到1247年（淳祐七九）7月，秦九韶終於完成了數學史上的傑作——《數學九章》十八卷，這是他一生中最有意義的事情。

楊輝

1261年（景定二年），楊輝寫成第一部書《詳解九章算法》，它以劉徽等注、賈憲細著的《九章算術》為底本，並補充了圖、乘除及「纂類」三卷，共十二卷。今存三分之二。楊輝認為，《九章算術》是算經之首，而且很有實用價值，但由於年代久遠，當時的一般讀者閱讀起來有困難。所以楊輝在研究數學時，首先注意到這本書，他要對原書各題的題意和解法詳加解釋，以便普及，於是有《詳解九章算法》之作。書中還補充了一些與當時社會生活有關的新題，這些題的解法都由《九章算術》演化來，楊輝稱為「比類題」。最後，楊輝對《九章算術200多道題重新分類，寫成「纂類」。因為《九章算術》的分類標準並不一致，有的按用途分，有的按算法分。楊輝則提出「因法推類」的原則，按算法的不同，將原書中所有題目分為乘除、互換、合率、分率、方程、勾股等九類，每一類中，由總的算法演繹出不同的具體方法，並結合相應的習題。自《九章算術》成書千年以來，楊輝首次突破了它的分類格局，是個創舉。楊輝的分類方法，有利於讀者系統學習算法，受到人們的歡迎。

朱世杰

就像它的書名一樣，《算學啟蒙》是一本很好的啟蒙書。該書首先給出各種法則和常用數據18條，稱為「總括」，包括九九乘法歌、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算記數法則，大小數進位制、度量衡及面積換算、正負數的四則運算法則及數學方程解法等。「總括」是全書的預備知識，後面各卷各題都要用到它們。特別應該提到的是，在中國古算書中，《算學啟蒙》最早記述了正負數乘除法則，同時給出倒數的概念和性質。另外，朱世杰繼承了南宋以來的歌訣形式，並作了創造性發揮。例如「總括」中的「九歸除法」訣：「一歸如一進，見九進成十。二一添作五，逢二進成十。三一三十一，三二六十二，逢三進成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十。五歸添一倍，逢五進成十......九歸隨身下，逢九進成十。」共36句。這和流傳至今的珠算口訣幾乎完全一致。朱世杰總結出如此規範、簡明的口訣，可見他不僅精通算理，而且在數學的普及教育方面是下了大工夫的。