초보자에게 흥미를 줄 수 있는 불가사의한 기하학 세계로의 입문서 하나의 직선 밖에 있는 한 점을 지나고 이 직선과 평행인 직선은 단지 한 개밖에 그을 수 없다는 것이 옛날부터 있었던 보통의 유클리드기하이다. 그런데 이러한 기하 이외에도 평행선을 한 개만이 아니고 두 개 그을 수 있다는 불가사의한 비유클리드기하라는 존재를 발견한 지 벌써 100년 이상 지나고 있다. 이러한 불합리한 일이 수학이라는 학문에서 일어나도 되는 것일까? 그러한 까닭으로 이 불가사의한 비유클리드기하에 대해서는 지금까지도 상당한 해설이 이루어지고 있으나 그 불가사의함은 좀처럼 없어지지 않는다. 수학의 즐거움 “알면 알수록 모르는 것이 늘어난다” 이 『비유클리드기하의 세계』도 해설서의 하나이지만 이 책은 이 불가사의함을 직접 해소시키려 하고 있는 것이 아니다. 왜냐하면 유클리드기하라 해도 이상한 일이 많이 있는데 하물며 비유클리드기하에는 불가사의한 일이 그밖에도 얼마든지 더 있지 않겠는가라고 당치도 않은 말을 할 정도이기 때문이다. 대체로 수학에는 불가사의한 일이나 모르는 것은 찾아보면 얼마든지 나온다. 오히려 모르는 것이 계속 나타난다. 바로 그러한 점 때문에 수학을 공부한다는 것이 즐거움이 될 수 있다. 하나에서 열까지 모두가 당연한 것뿐이라면 수학은 무미건조하고 보잘것없는 것이 돼버린다. 사실상 수학은 불가사의하고 모르는 것투성이다. 그 가운데서 극히 약간의 밝혀진 것만을 정리해서 가르치고 있는 것이 교과서이다. 그래서 수학 교과서를 읽는 것만으로는 수학의 재미를 알 수 있을 턱이 없다. 이 책은 제1부는 평행선이란 도대체 어떠한 것일까, 도대체 어떻게 보이는 것일까라는 극히 초보적인 것을 솔직하게 그리고 극히 직관적으로 생각해 간다. 그렇게 하면 결국 유클리드적인 사고방식도, 비유클리드적인 사고방식도 어느 쪽이 자연스럽고 어느 쪽이 부자연스러운지 좀처럼 말할 수 없게 된다. 즉 비유클리드기하도 있을 수 있다는 것이 제1부의 논지이다. 제2부는 비유클리드기하를 발견한 사람들이 그 발견을 위해서 어떻게 괴로워했는가, 또한 괴로움을 당했는가 하는 고뇌의 역사이다. 서론에서는 수학의 즐거움을 말했지만 전문가라도 되고 보면 이야기는 달라진다. 제3부는 비유클리드기하를 실제로 만들어보는 이야기인데 이것을 위해서 초등기하를 응용해 보았다. 구면(球面) 위에 모델을 만드는 것이므로 그림은 충분히 삽입해 두었지만 평소 익숙하지 않은 입체도가 많아 통독하는 것은 조금 힘들지도 모르겠다.