بوانكاريه يعتمد الصيغة هذه المعروفة بالبرهان بالتراجع إن كل من بديهية الرد والبرهان بالتراجع برهنة تؤدي إلى التأكد من الافتراض. ولكن أي منهما يثبت في برهنة أي شيء؟ أعني في البرهنة على مستويات عدة؟ذاك هو الإشكال الذي نحاول أن نعالجه في هذا الكتاب. ونحن لا ندعي بأننا وفقنا في عرض وجهتي النظر وتحليلهما ونقد كل منهما للآخر. وبالتالي اعتماد أحد الاثنين في البرهنة. لكننا نقول أن المجال الرياضي واسع والمجال المنطقي أوسع. والتطور العلمي في هذا المجال هو وحده يحكم على تقدم وجهة نظر على الأخرى.